Krümmungsverhalten

Um den Verlauf des Grafen einer Funktion $f(x)$ näher skizzieren zu können, ist die Krümmung der Funktion von Bedeutung. Unterschieden wird zwischen konkaven und konvexen Funktionen und zwischen streng konkaven und streng konvexen Funktionen.
Definition[Konkavität von Funktionen]
Eine reelle Funktion $f(x)$ ist in einem Intervall I konkav, wenn für zwei beliebige Variablen $x_{1},x_{2}$ im Intervall I mit $x_1 < x_2$ und für jede reelle Zahl $\lambda \in [0,1]$ gilt: \begin{equation*} f(\lambda x_2 + (1 - \lambda)x_1)\geq \lambda f(x_2) + (1- \lambda) f(x_1) \end{equation*}
Bemerkung
Eine Funktion heißt also konkav, wenn die Verbindungsgerade zwischen zwei beliebigen Punkten dieser Funktion vollständig unterhalb der Funktion liegt oder mit der Funktion zusammenfällt.
Definition[Konvexität von Funktionen] Eine reelle Funktion $f(x)$ ist in einem Intervall I konvex, wenn für zwei beliebige Variablen $x_{1},x_{2}$ im Intervall I mit $x_1 < x_2$ und für jede reelle Zahl $\lambda \in [0,1]$ gilt: \begin{equation*} f(\lambda x_2 + (1 - \lambda)x_1)\leq \lambda f(x_2) + (1- \lambda) f(x_1) \end{equation*}
Bemerkung
Eine Funktion heißt also konvex, wenn die Verbindungsgerade zwischen zwei beliebigen Punkten dieser Funktion vollständig oberhalb der Funktion liegt oder mit der Funktion zusammenfällt.
Grafisch kann die Krümmung einer Funktion überprüft werden, indem an den Graphen der Funktion $f(x)$ an einem beliebigen Punkt eine Tangente und (oder) zwischen zwei Punkten der Abbildung eine Sekante eingezeichnet wird. Liegt der Graph der Funktion stets unterhalb der Tangente bzw. liegt die Sekante stets unterhalb der Funktionskurve, so ist die Funktion konkav gekrümmt. Entsprechend gilt für konvexe Funktionen, dass der Graf der Funktion stets überhalb der Tangente und unterhalb der Sekante liegt.
Eine Funktion heißt streng konkav (in der Menge $M$), wenn gilt \begin{equation*} f(\alpha \vec{x}\! +\! ( 1 - \alpha)\vec y)\! >\! \alpha f(\vec{x}) + (1 - \alpha ) f(\vec y) \end{equation*} für alle $\vec{x}, \vec{y} \in M$ und $ 0 < \alpha < 1$
Bemerkung
Eine Funktion heißt also streng konkav, wenn die Verbindungsgerade zwischen zwei beliebigen Punkte dieser Funktion vollständig unterhalb der Funktion liegt.
Jede streng konkave Funktion ist konkav.
Eine Funktion heißt streng konvex (in der Menge $M$), wenn gilt \begin{equation*} f(\alpha \vec{x}\! +\! ( 1 - \alpha)\vec y)\! <\! \alpha f(\vec{x}) + (1 - \alpha ) f(\vec y) \end{equation*} für alle $\vec{x}, \vec{y} \in M$ und $ 0 < \alpha < 1$
Bemerkung
Eine Funktion heißt also streng konvex, wenn die Verbindungsgerade zwischen zwei beliebigen Punkte dieser Funktion vollständig oberhalb der Funktion liegt.
Jede streng konvexe Funktion ist konvex.
Eine Funktion ist konkav, wenn $- f(x)$ konvex ist
Eine Funktion ist konvex, wenn $- f(x)$ konkav ist