Definition[Konkavität von Funktionen]
Eine reelle Funktion $f(x)$ ist in einem Intervall I konkav, wenn für zwei beliebige Variablen $x_{1},x_{2}$ im Intervall I mit $x_1 < x_2$ und für jede reelle Zahl $\lambda \in [0,1]$ gilt: \begin{equation*} f(\lambda x_2 + (1 - \lambda)x_1)\geq \lambda f(x_2) + (1- \lambda) f(x_1) \end{equation*}
Bemerkung
Eine Funktion heißt also konkav, wenn die Verbindungsgerade zwischen zwei beliebigen Punkten dieser Funktion vollständig unterhalb der Funktion liegt oder mit der Funktion zusammenfällt. |
Definition[Konvexität von Funktionen]
Eine reelle Funktion $f(x)$ ist in einem Intervall I
konvex, wenn für zwei beliebige Variablen $x_{1},x_{2}$ im
Intervall I mit $x_1 < x_2$ und für jede reelle Zahl $\lambda
\in [0,1]$ gilt:
\begin{equation*}
f(\lambda x_2 + (1 - \lambda)x_1)\leq \lambda f(x_2) + (1-
\lambda) f(x_1)
\end{equation*}
Bemerkung
Eine Funktion heißt also konvex, wenn die Verbindungsgerade zwischen zwei beliebigen Punkten dieser Funktion vollständig oberhalb der Funktion liegt oder mit der Funktion zusammenfällt. |
Eine Funktion heißt streng konkav (in der Menge $M$),
wenn gilt
\begin{equation*}
f(\alpha \vec{x}\! +\! ( 1 - \alpha)\vec y)\! >\! \alpha
f(\vec{x}) + (1 - \alpha ) f(\vec y)
\end{equation*}
für alle $\vec{x}, \vec{y} \in M$ und $ 0 < \alpha < 1$
Bemerkung
Eine Funktion heißt also streng konkav, wenn die Verbindungsgerade zwischen zwei beliebigen Punkte dieser Funktion vollständig unterhalb der Funktion liegt. Jede streng konkave Funktion ist konkav. |
Eine Funktion heißt streng konvex (in der Menge $M$),
wenn gilt
\begin{equation*}
f(\alpha \vec{x}\! +\! ( 1 - \alpha)\vec y)\! <\! \alpha
f(\vec{x}) + (1 - \alpha ) f(\vec y)
\end{equation*}
für alle $\vec{x}, \vec{y} \in M$ und $ 0 < \alpha < 1$
Bemerkung
Eine Funktion heißt also streng konvex, wenn die Verbindungsgerade zwischen zwei beliebigen Punkte dieser Funktion vollständig oberhalb der Funktion liegt. Jede streng konvexe Funktion ist konvex. |
Eine Funktion ist konkav, wenn $- f(x)$ konvex ist
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Eine Funktion ist konvex, wenn $- f(x)$ konkav ist
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