Relatives Extremum
Falls eine stetige Funktion $f(x)$ von einem steigenden Verlauf zu
einem fallenden Verlauf übergeht und der Funktionswert im
Wendepunkt größer bzw. kleiner ist, als alle Werte in der
Umgebung, dann wird von einem Extremum oder Extremwert gesprochen.
Nimmt die Funktion in diesem Punkt den höchsten Funktionswert an,
so handelt es sich um ein Maximum und für den niedrigsten
Wert um ein Minimum. Im Extrempunkt wechselt die
Ableitung $f'(x)$ das Vorzeichen und es gilt $f'(x_0)=0$. Zu
unterscheiden ist zwischen lokalen (relativen) und globalen
(absoluten) Extremwerten.
Definition[Lokales Maximum]
Eine stetige und an der Stelle $x_0$ differenzierbare Funktion
$f(x)$ besitzt an einer Stelle $x_0$ ein lokales (relatives)
Maximum, falls für alle $x$ in einer Umgebung $U(x_0)$ gilt:
\begin{equation*}
f'(x_0)=0 \qquad und \qquad f(x_0)\geq f(x)
\end{equation*}
Definition[Lokales Minimum]
Eine stetige und an der Stelle $x_0$ differenzierbare Funktion
$f(x)$ besitzt an einer Stelle $x_0$ ein lokales (relatives)
Minimum, falls für alle $x$ in einer Umgebung $U(x_0)$ gilt:
\begin{equation*}
f'(x_0)=0 \qquad und \qquad f(x_0)\leq f(x)
\end{equation*}
Während lokale Extremwerte den größten bzw. kleinsten
Funktionswert innerhalb einer kleinen Umgebung annehmen, gilt für
ein globales Extremum, dass der Funktionswert für alle $x$-Werte
des Definitionsbereiches den maximalen bzw. minimalen Wert
besitzt. Jeder globale Extremwert ist demnach auch ein lokaler
Extremwert (Der Umkehrschluß gilt nicht!).
Definition[Globales Maximum]
Eine stetige und an der Stelle $x_0$ differenzierbare Funktion
$f(x)$ besitzt an einer Stelle $x_0$ ein globales (absolutes)
Maximum, falls für alle $x$ des Definitionsbereiches gilt:
\begin{equation*}
f'(x_0)=0 \qquad und \qquad f(x_0)\geq f(x) \qquad \forall x\in
\mathbb {D}
\end{equation*}
Definition[Globales Minimum]
Eine stetige und an der Stelle $x_0$ differenzierbare Funktion
$f(x)$ besitzt an einer Stelle $x_0$ ein globales (absolutes)
Minimum, falls für alle $x$ des Definitionsbereiches gilt:
\begin{equation*}
f'(x_0)=0 \qquad und \qquad f(x_0)\leq f(x) \qquad \forall x\in
\mathbb {D}
\end{equation*}
Mit Hilfe der Differentialrechnung lassen sich nur relative
Extrema bestimmen. Erst durch den Vergleich aller lokalen
Extremwerte ist es dann möglich das globale Extremum zu bestimmen.
Um mit Hilfe der Differentialrechnung Extremwerte zu bestimmen,
muss eine stetige und an der Stelle $x_0$ differenzierbare
Funktion zwei Bedingungen, die so genannten Bedingungen 1. und 2.
Ordnung erfüllen. In der Literatur wird auch von notendiger
Bedingung und hinreichender Bedingung gesprochen.
Definition[Notwendige Bedingung für ein Extremum]
Besitzt eine Funktion $f(x)$ an der Stelle $x_0$ ein lokales
Maximum oder Minimum, dann gilt: $f'(x_0)=0$.
Diese Bedingung ist notwendig für die Existenz eines Extremwertes
aber nicht hinreichend.
Definition[Hinreichende Bedingung für ein Extremum]
Ist für eine Funktion $f(x)$ an der Stelle $x_0$ die 1.Ableitung
gleich null und die 2.Ableitung ungleich null, so besitzt die
Funktion als relatives Extremum:
- ein lokales Maximum, wenn: $f'(x_0)=0 \quad und \quad
f''(x)<0$ und\\
- ein lokales Minimum, wenn: $f'(x_0)=0 \quad und \quad
f''(x)>0 .$
Wichtig: Erst wenn beide Bedingungen erfüllt sind, kann
die Art des Extremwertes näher bestimmt werden. Für den Fall, dass
die zweite Ableitung ebenfalls null wird, muss die Ableitung
höherer Ordnung gebildet werden, bis der Wert ungleich null ist.
Bei dem ermittelten Extremwert handelt es sich in diesem Fall um
einen Wendepunkt bzw. einen Sattelpunkt.