|
Definition [Konvexe Menge]
Eine Menge $M\subset\mathbb{R}^{n}$ heißt konvex, wenn für beliebige $\vec{x}\in M$ und $\vec{y}\in M$ und jedes $\alpha$ mit $0\le \alpha \le 1$ gilt
\begin{equation*}
\alpha \vec{x} + (1-\alpha)\vec{y} \in M
\end{equation*}
$\alpha \vec{x} +(1-\alpha)\vec{y}$ heißt für $0\le \alpha \le 1$ konvexe Kombination von $\vec{x}$ und $\vec{y}$. Die konvexe Kombinationen sind alle Punkte auf dem Geradenstück zwischen $\vec{x}$ und $\vec{y}$.
Definition [Streng konvexe Menge]
$M\subset\mathbb{R}^{n}$ heißt streng konvex, wenn für beliebige $\vec{x}$, $\vec{y} \in M$ und jedes $\alpha$ mit $0<\alpha < 1$ gilt
\begin{equation*}
\alpha \vec{x} + (1-\alpha )\vec{y} \ \hbox{ist innerer Punkt von} \ M
\end{equation*}
Jede streng konvexe Menge ist auch konvexe Menge.
Beispiel
In nebenstehender Abbildung ist
-
$A$ streng konvex (und also auch konvex), jede konvexe Kombination - auch von Randpunkten - ist innerer Punkt;
-
$B$ ist konvex, aber nicht streng konvex, die konvexe Kombination von Randpunkten ist kein innerer Punkt;
-
und $C$ ist nicht konvex, es gibt konvexe Kombinationen, die nicht in der Menge liegen.
|
|