Es gelten für die Grenzwerte von Funktionen:
\begin{equation}\label{CES_50} \lim_{x\rightarrow a} (f(x)+g(x)) =\lim_{x\rightarrow a} f(x)+ \lim_{x\rightarrow a}g(x)\end{equation}
\begin{equation}\label{CES_51} \lim_{x\rightarrow a} (f(x)\cdot g(x)) =\lim_{x\rightarrow a} f(x) \cdot \lim_{x\rightarrow a}g(x)\end{equation}
\begin{equation}\label{CES_52} \lim_{x\rightarrow a} \frac {f(x)}{ g(x)} =\frac{\lim_{x\rightarrow a} f(x)}{ \lim_{x\rightarrow a}g(x)}\end{equation}
Die letzte Regel gilt allerdings nur für $\lim_{x\rightarrow a}g(x)\ne 0$ bzw $\lim_{x\rightarrow a}g(x)\ne 0$,
da andernfalls der Bruch im Grenzwert nicht von vornherein erklärt ist. Trotzdem kann ed sein, dass de Grenzwert existiewrt und es zu
sogenanntzen unbestimmten Ausdrücken der Form $\frac{0}{0}$ oder $\frac{\infty}{\infty}$ kommt.
Beispiel
\begin{equation}\label{CES_53} lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-1)^2}{(x-1)}
= \frac{lim_{x\rightarrow 1}(x-1)^2}{lim_{x\rightarrow 1}(x-1)}
= \frac{0}{0}
\end{equation}
Das ist ein unerklärter Ausdruck, der sich auf diese Weise also nicht berechnen lässt.
Wir formen um
\begin{equation}\label{CES_54} lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-1)^2}{(x-1)}
=lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)}
=lim_{x\rightarrow 1}(x+1) =2
\end{equation}
Somit ist der Wert durchaus zu berechnen.
Gesucht ist eine Methode, die auch funktioniert, wenn eine solche
Zerlegung nicht offensichtlich oder gar nicht möglich ist.
Regel von de l'Hospital, Berechnung von Ausdrücken der Form $\frac{0}{0}$
Die Funktionen $f$ und $g$ seien an der Stelle a differenzierbar und es gelte $f(a)=g(a)=0$, sowie $g'(a)\ne 0$.
Dann folgt:
\begin{equation}\label{CES_55}\lim_{x\rightarrow a}\frac {f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac {f'(a)}{g'(a)}\end{equation}
Beweis
Durch Erweitern von
mit $\frac{1}{x-a}$ ergibt sich:
\begin{equation}\label{CES_56}\lim_{x\rightarrow a}\frac {f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a} \frac {\frac{f(x)}{x-a}}{\frac{g(x)}{x-a}}\end{equation}
Wegen $f(a)=g(a)=0$ ergibt sich
\begin{equation}\label{CES_57}\lim_{x\rightarrow a}\frac {f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a} \frac {\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}{\frac{g(x)-g(a)}{x-a}}=\frac {f'(a)}{g'(a)}\end{equation}