Satz: [Hinreichende Bedingung für ein relatives Extremum]
Für eine Funktion f(x,y) existieren in der Umgebung eines Punktes
$(x_{0},y_{0})$ stetige partielle Ableitungen 1. und 2. Ordnung
und es gilt: $f_{x}=f_{y}=0$.
-
Als hinreichende Bedingung für ein relatives Maximum gilt:
\begin{equation*}
f_{xx}f_{yy}-{f^2}_{xy}>0
\end{equation*}
\begin{equation*} f_{xx},f{yy}<0
\end{equation*}
-
Als hinreichende Bedingung für ein relatives Minimum gilt analog:
\begin{equation*}
f_{xx}f_{yy}-{f^2}_{xy}>0
\end{equation*}
\begin{equation*}
f_{xx},f_{yy}>0
\end{equation*}
-
Gilt im Punkt $(x_{0},y_{0})$
\begin{equation*}
f_{xx}f_{yy}-{f^2}_{xy}<0 \quad,
\end{equation*} so liegt in diesem Punkt kein Extremum, sondern
ein Sattelpunkt vor. Diese Bedingung ist stets erfüllt, wenn die
direkten partiellen Ableitungen 2.Ordnung unterschiedliche
Vorzeichen besitzen.
\bigskip
-
Ohne weitere Untersuchung ist eine Aussage nicht möglich, falls
gilt:
\begin{equation*}
f_{xx}f_{yy}-{f^2}_{xy}=0 \quad.
\end{equation*}