In vielen Bereichen der Wissenschaft, insbesondere in der Statistik spielt die
Normalverteilung bzw. ihre Dichtefunktion, die Gaußsche Glockenkurve, eine
wichtige Rolle.
\begin{equation}
\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}
\end{equation}
mit positiven Parametern $\sigma$ und $\mu$
Diese Gaußsche Glockenkurve kann als Verknüpfung
eines Polynoms mit einer Exponentialfunktion dargestellt werden.
Die äußere Funktion ist gegeben durch eine
e-Funktion:
\begin{equation*}
g(y)=\frac{1}{ \sqrt{2\pi}}e^y = 0.159\cdot e^y
\end{equation*}
Das Polynom ist:
\begin{equation*}
y=f(x)=-\frac{1}{2\sigma}\left(x-\mu\right)^2
\end{equation*}
Das ist eine Parabel, die in faktorisierter Form gegeben ist. Diese Parabel ist
- nach unten geöffnet,
- sie besitzt eine doppelte Nullstelle bei $x_0=\mu$,
- alle anderen Funktionswerte sind negativ.
(Begründen Sie diese drei Aussagen!)
Mit einer Komponenten soll demonstriert werden, wie die Parabel und die
e-Funktion zusammenspielen und daraus die Glockenkurve entsteht.
In dieser Komponenten soll die Funktion $f(x)$ im positiven Quadranten
dargestellt werden, was - wie gerade festgestellt - nicht gegeben ist. Darum
schieben wir die Parabel durch Addition einer Konstanten $ s$ so nach oben,
dass die Parabel durch den Nullpunkt läuft.
In der äußeren Funktion wird diese Verschiebung der inneren Funktion gleich
wieder rückgängig gemacht, so dass die gesamte Funktion, die Glockenkurve, sich
nicht ändert. Wie man das machen kann, wird in einem Hinweis nach der
Komponenten dargestellt.