Um den
Verlauf von reellen Funktionen noch etwas genauer analysieren zu können, führen wir
im Folgenden den Begriff der Beschränktheit und der Monotonie ein.
Wir setzen voraus, dass die Funktion $f(x)$ auf einem Intervall $\mathbb{I}$
definiert ist und dass zwei Zahlen $x_1$ und $x_2$ aus diesem Intervall existieren.
Definition: [Monotonie einer Funktion]
Eine reelle Funktion heißt streng monoton steigend (wachsend), wenn aus $x_1 < x_2$ stets folgt, dass $f(x_1) < f(x_2)$ gilt. Eine Funktion ist schwach monoton steigend, wenn aus $x_1 < x_2$ stets $f(x_1) \leq f(x_2)$ folgt. Entsprechend werden streng monoton fallende und monoton fallende Funktionen definiert. Eine Funktion heißt konstant, wenn für alle $x$ des Definitionsbereiches gilt: $f(x) = c$ mit $c = konst.$
In der linken Abbildung ist die abgebildete Funktion $e^{-x}$ innerhalb des
Definitionsbereiches streng monoton fallend. Dagegen ist die Funktion $e^x$ streng
monoton steigend.
monoton fallend
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monoton steigend
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