Satz

Es sei \(f: [a,b] \to \mathbb{R}\) eine auf einem Intervall definierte stetige reelle Funktion. Außerdem habe der Funktionswert von f in a und b unterschiedliche Vorzeichen. Dann existiert ein c mit \(a < c < b\) mit \(f(c)=0\)

vgl. fichtenholzI:1964 , S. 151

Bemerkung 1
Die Aussage ist sehr einfach zu veranschaulichen: Verläuft eine stetige Kurve teilweise unterhalb und teilweise oberhalb der Achse, so muss sie die Achse irgenwo schneiden.
Satz

Es sei \(f: [a,b] \to \mathbb{R}\) eine auf einem Intervall definierte stetige reelle Funktion uns es sei \([f(a)=A, \quad f(b)=B, A\ne B\)
Dann existiert zu jedem C zwischen A und B ein c zwischen a und b mit f(c)=C.

vgl. fichtenholzI:1964 , S. 154

<   $a_0$   >

Ändern Sie den Verlauf der Funktion mit dem Schieberegler so, dass sie mehr als eine Nullstelle bekommen.
Bemerkung 2
Die geometrische Bedeutung ist:
Eine stetige Funktion nimmt beim Übergang von einem Wert zu einem anderen jeden Zwischenwert an.
Bemerkung 3
Man beachte, dass die mathematischen Aussage :"Es existiert ein .." immer bedeutet: "Es existiert mindestens ein...". Gerade bei diesem Satz ist die Eindeutigkeit nicht gegeben. Die Komponente zeigt, dass es zwei (und in anderen Fällen auch noch mehr) Nullstellen geben kann.
Wollen Mathematiker zusätzlich Aussagen über Eindeutigkeit machen, so sagen sie "Es existiert genau ein..."
Bemerkung 4
Es gibt sehr viele Anwendungen für diesen Satz. In der Gleihgewichttheorie wird später darauf zurückgegriffen.
Eine sehr lustige Anwendung gibt Matthias Kreck von der Universität Bonn zum Problem des wackelnden Tischs im Bierkarten (Video in Englisch mit kurzer anfänglicher Werbung).