Es sei bei einer Funktion f(x) der Wert a und der zugehörige Funktionswert f(a) bekannt. Häufig interessiert man sich in der angewandten Mathematik für die Werte der Funktion "nahe" von a. Als erste grobe Näherung kann man davon ausgehen, dass sich für sehr kleine Änderungen auch der Funktionswert kaum ändert, also \begin{equation*} f(a+\delta x) \approx f(a) \end{equation*} Diese Beziehung gilt zumindest dann, wenn die Zunahme (Abnahme) der Funktion nicht ins Gewicht fällt, andernfalls sollte man die Steigung der Funktion berücksichtigen und erhält \begin{equation*} f(a+\delta x) \approx f(a) + f'(a)\cdot \delta x \end{equation*}
Damit wird die Funktion im betrachteten Punkt durch eine tangentiale Gerade approximiert, die Funktion wird linarisiert, man bekommt damit schon recht gute Annäherungen in einer Umgebung um den Punkt, zumindest wenn der Funktionsverlauf wenig Krümmung besitzt, andernfalls müsste auch noch die Krümmung - also die zweite Ableitung - beachtet werden. Liegt der Punkt bei einem Wendepunkt, so müsste auch die Änderung der Krümmung, die dritte Ableitung, beachtet werden.

Taylorentwicklung eines Polynoms

Unterstellen wir ein Polynom n-ten Grades als zu untersuchende Funktion. \begin{equation} f(x) = a_0+a_1x^1+ a_2x^2+a_3x^3+ \dots + a_nx^n\qquad (*) \end{equation} Durch Differenzieren ergibt sich: \begin{eqnarray} f'(x) &=& a_1+ 2\cdot a_2x^1+3\cdot a_3x^2+ \dots + n\cdot a_n x^{n-1}\\ f''(x) &=& 1\cdot 2\cdot a_2 + 2\cdot3a_3x^1+ \dots + (n-1)n\cdot a_nx^{n-2}\quad(**)\\ f'''(x) &=& 1\cdot2\cdot3\cdot a_3+ \dots + (n-2)(n-1)n\cdot a_nx^{n-3}\\ \\\ f^{(n)}{(x)} &=& 1\cdot2\cdot3\dots n\cdot a_n\nonumber \end{eqnarray} Setzt man $x=0$ in die Beziehungen (**), so ergibt sich: \begin{equation} \label{TTPolynom} a_0= f(0) \quad a_1= \frac{f'(0)}{1!} \quad a_2= \frac{f''(0)}{2!} \quad a_3= \frac{f'''(0)}{3!} \cdots a_n= \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \end{equation} Setzt man diese Werte in (*) ein so ergibt sich: \begin{equation} f(x)\!=\! f(0)+ \frac{f'(0)}{1!}x^1+ \frac{f''(0)}{2!}x^2+ \frac{f'''(0)}{3!}x^3+ \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n (***) \end{equation} Damit ist das Polynom dargestellt durch den Wert bei 0 , der dortigen Steigung, der Krümmung, der Änderung der Krümmung usw. Man beachte, dass in (***) alle Werte bei $x=0$ berechnet werden. Man kann das verallgemeinern für einen beliebigen Wert $x_0$ und erhält:
Taylorentwicklung
Betrachten Sie die oben (anfänglich) dargestellte Exponential-Funktion.
  1. Erklären Sie die berechneten Koeffizienten (anfänglich) $a_0$ und $a_1$ und erklären Sie diese.
  2. Erhöhen Sie schrittweise mit dem Schieberegler den Wert von n und damit die Anzahl der berechneten Koeffizienten

\begin{equation} f(x) = f(x_0)+ \frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)^1+ \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+ \frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+ \dots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n \end{equation} (vgl. fichtenholzI:1964 S. 227f)