Ableitung einer Konstantenn
Ist die Funktion $f$ eine Konstante, so ist ihre Ableitung $0$:
\begin{equation}
f(x)=C \rightarrow f'(x)=0
\end{equation}
Das die Ableitung einer Konstanten $0$ ist, ist sehr einfach zu
erklären. Der Graph der Funktion $f(x)=C$ ist eine Gerade, die
parallel zur Abszisse verläuft. Die Tangente an diesem Graphen hat
dann in \emph{jedem Punkt} die Steigung $0$.
Additive Konstanten
\begin{equation}
f(x)=x+C \rightarrow f'(x)=1
\end{equation}
Additive Konstanten innerhalb einer Funktion verschwinden bei der
Ableitung nach dem Funktionsargument $x$. Auch hierfür gibt es
eine plausible Erklärung: Die Funktionen $y=f(x)$ und $y=f(x)+C$
bilden zwei kongruente Graphen ab, die zueinander im Abstand $C$
verlaufen würden. Wenn an die beiden Kurven an der Stelle $x_{0}$
eine Tangente angelegt wird, so verlaufen die beiden Tangenten
parallel zueinander. Dies würde bedeuten, dass die Tangenten an
der Stelle $x_{0}$ dieselbe Steigung haben und somit auch die
Funktionen $y=f(x)$ und $y=f(x)+C$.
Multiplikative Konstanten
\begin{equation}
f(x)=C\cdot x \rightarrow f'(x)=C
\end{equation}
Multiplikative Konstanten bleiben bei der Ableitung nach dem
Funktionsargument $x$ erhalten. Der Beweis gelingt über den
Grenzwert. g(x) repräsentiert die Funktion f(x), multipliziert mit
dem Faktor C. Dann gilt im Differentialquotient:
\begin{eqnarray*}
g(x)=C\cdot f(x) \leftrightarrow g(x+h)-g(x)= C \cdot
[f(x+h)-f(x)]
\end{eqnarray*}
und ebenfalls:
\begin{eqnarray*}
g'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=C\cdot
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=C\cdot f'(x)
\end{eqnarray*}
%%\subsubsection*{Potenzregel}
Potenzregel
\begin{equation}
f(x)=x^{n} \rightarrow f'(x)=n\cdot x^{n-1}
\end{equation}
Auch hier gelingt der Beweis über den Differenzialquotienten.
Dabei wird im zweiten Schritt die binomische Regel benutzt.
\begin{eqnarray}
f'(x) & = & \lim_{h\rightarrow 0}\frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h}\\
%
f'(x) & = & \lim_{h\rightarrow 0}\frac{[x^{n}+{n \choose 1}x^{n-1}h+{n \choose 2}x^{n-2}h^{2}+\ldots+{n\choose n-1}x^{1}h^{n-1}+h^{n}]-x^{n}}{h}\\
%
f'(x) & = & \lim_{h\rightarrow 0}
\left[{n\choose 1}x^{n-1} +{n\choose 2}x^{n-2}h+\ldots+{n\choose n-1}x^{1}h^{n-2}+h^{n-1}\right]\\
%
f'(x) & = & n\cdot x^{n-1}
\end{eqnarray}
Summen-,Produkt-, Quotienten- und Kettenregel
Die Funktionen $f$ und $g$ sind auf einer Menge $M$ definiert und
in $x$ differenzierbar.
Summenregel
\begin{equation}
(f(x)\pm g(x))' \rightarrow f'(x)\pm g'(x)
\end{equation}
Die Summenregel für $n$ Summanden:
\begin{equation*}
(f_{1}(x)+ f_{2}(x)+ f_{3}(x)+ \ldots + f_{n}(x))' = f'_{1}(x)+
f'_{2}(x)+ f'_{3}(x)+ \ldots + f'_{n}(x)
\end{equation*}
Produktregel
\begin{equation}
(f(x)\cdot g(x))' \rightarrow f'(x)\cdot g(x)+ f(x)\cdot g'(x)
\end{equation}
Die Produktregel für $n$ Faktoren:
\begin{eqnarray*}
(f_{1}(x)\cdot f_{2}(x)\cdot f_{3}(x)\cdot \ldots \cdot f_{n}(x))'&
= & f'_{1}(x)\cdot f_{2}(x)\cdot f_{3}(x)\cdot \ldots \cdot
f_{n}(x)\\& + & f_{1}(x)\cdot f'_{2}(x)\cdot f_{3}(x)\cdot \ldots
\cdot f_{n}(x)\\& + & f_{1}(x)\cdot f_{2}(x)\cdot f'_{3}(x)\cdot
\ldots \cdot f_{n}(x)\\ & \vdots & \\ & + & f_{1}(x)\cdot
f_{2}(x)\cdot f_{3}(x)\cdot \ldots \cdot f'_{n}(x)
\end{eqnarray*}
Quotientenregel
\begin{equation}
\left( \frac{f(x)}{g(x)}\right)'\rightarrow \frac {f'(x)\cdot
g(x)- f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^{2}}
\end{equation}