Bei der Ableitung von Funktionen der Form $f(x)=y$ mit nur einer unabhängigen (exogenen) Variablen $x$ und einem abhängigen (endogenen) Funktionswert $f(x)$, werden die marginalen Änderungen der Variablen formal mit $\Delta x$ und die resultierenden Änderungen vom Funktionswert mit $\Delta f(x)$ bezeichnet. Das Differential gibt an, um wieviele Einheiten $\Delta f$ sich die abhängige Variable ändert, wenn die unabhängige Variable $x$ an einer Stelle $x_0$ um $\Delta x$ Einheiten geändert wird. Wir betrachten in der folgenden Abbildung den Graphen einer reellen Funktion $f(x)$ zwischen zwei Punkten $A=(x_0,f(x_0))$ und $B=(x_1,f(x_1))$.
Verdeutlichen Sie sich den Übergang von der Sekantensteigung zur Tangentensteigung an nebenstehendem aktiven Element, indem Sie den Punkt B mit der Maus immer näher an den Punkt A ziehen.
Bestimmen Sie die Steigung der dargestellten Parabel im Punkt A. Betrachten Sie dazu die Tangente und ihre Schnittpunkte mit der x- und der y-Achse.

Differentialquotient (Polynom)

Der Ausdruck $\frac{\Delta f(x)}{\Delta x} = \frac {f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$ wird als Differenzenquotient bezeichnet und ist ein Maß für die Steigung der Sekante des Graphen der Funktion $f(x)$ zwischen den Punkten $A$ und $B$. (Vgl. Komponente Differentialquotient (Polynom))

Definition: Differenzenquotient
Sei $f(x)=y$ mit $x \in \mathbb{R}$ eine reelle Funktion, dann heißt der Ausdruck \begin{equation} \frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x_0} = \frac {f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}= \frac{f(x_0+ \Delta x)- f(x_0)}{\Delta x} \end{equation} Differenzenquotient einer reellen Funktion im Intervall von $x_0$ bis $x_1$.

Aus dem Differenzenquotient wird im Grenzübergang, d.h. wenn $\Delta x \rightarrow 0$ strebt, der Differentialquotient. Graphisch wird im Grenzübergang, also für den Grenzwert $lim_{x\rightarrow 0}\frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x_0}$, die Sekante zur Tangente an den Graph der Funktion. Der Differentialquotient ist somit die Steigung der Tangente an die Funktion im Punkt $A$. (Vgl. die obige Komponente)