Im Folgenden soll die Ableitung der e-Funktion bestimmt werden. Um den Beweis möglichst einfach zu gestalten, soll ein Teil der Herleitung graphisch durchgeführt werden. Bearbeiten Sie dazu die folgende Aufgabe:
Bestimmen Sie in der Komponenten die Steigung der dargestellten Funktion $e^x$ im Schnittpunkt mit der Ordinaten. Betrachten Sie dazu die Tangente und ihre Schnittpunkte mit der x- und der y-Achse.

Ableitung der Exponentialfunktion
Es gilt \begin{equation} f(x) = e^{x} \rightarrow f'(x)=e^{x} \end{equation}
Beweis
Der Beweis ist recht einfach. Man geht wieder von der Definition der Ableitung aus: \begin{equation*} f'(x) = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{e^{x+h }-e^x}{h} \end{equation*} Nutzt man die Potenzregeln $e^{x+h}=e^x\cdot e^h$ so ergibt sich: \begin{equation*} f'(x) = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{e^x\cdot e^h -e^x}{h} = e^x\lim_{h\rightarrow 0}\cdot \frac{e^h -1}{h} \end{equation*} Aus der nebenstehenden grafischen Komponente ergibt sich $\lim_{h\rightarrow 0}\cdot \frac{e^h -1}{h}=1$. Also $$f'(e^x)=e^x$$

Differentialquotient (e-Funktion)