Definition: Differentialquotient
Wenn für eine reelle Funktion $f(x)=y$ mit $x \in \mathbb {R}$ der
Grenzwert
\begin{equation*}
\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x_0}=
\frac{f(x_1)- f(x_0)}{x_1-x_0}= \frac{f(x_0 + \Delta x) -
f(x_0)}{\Delta x}= \frac{d f(x)}{dx}= f'(x)
\end{equation*} existiert, dann heißt dieser Grenzwert
Differentialquotient, die erste Ableitung einer Funktion oder die
Steigung der Funktion an der Stelle $x_0$.
Die Steigung eines Graphen einer Funktion $f(x)$ im Punkt ${x_0}$
entspricht der Steigung einer Tangenten, die an der Stelle ${x_0}$
an die Funktion $f(x)$ gelegt wird. Die Steigungsrate des Graphen
der Funktion im Punkt $(x_0,f(x_0))$ entspricht der Ableitung der
Funktion an der Stelle $x_0$ und wird mit $f'(x)$ bezeichnet.
Definition: Differenzierbarkeit von Funktionen
Existiert ein Grenzwert
\begin{equation*}
f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac {f(x_0 + \Delta x) -
f(x_0)}{\Delta x} ,
\end{equation*}
so ist eine reelle Funktion $f(x)$ an der Stelle ${x_0}\in X$
differenzierbar.
Zwischen der Differenzie
rbarkeit von Funktionen und der
Eigenschaften der Stetigkeit von Funktionen existiert ein
unmittelbarer Zusammenhang.
Satz
Handelt es sich bei einer Funktion $f(x)=y$ mit $x\in \mathbb {R}$
um eine reelle Funktion und ist diese Funktion f(x) für alle $x
\in X$ differenzierbar, so ist die Funktion in $x$ stetig.
Aus dem Satz folgt unmittelbar, dass jede differenzierbare reelle
Funktion auch stetig ist. Im Umkehrschluss resultiert, dass jede
nicht stetige Funktion nicht differenzierbar ist. Der Rückschluss,
dass jede stetige Funktion auch differenzierbar ist, gilt jedoch
nicht. Zum Beispiel ist die Funktion $f(x)=|x|$ im Punkt $x=0$
stetig, aber nicht differenzierbar.
Im Folgenden werden die Ableitungen bekannter Funktionen sowie die
wichtigsten Ableitungsregeln zusammengefasst. Es wird
vorausgesetzt, dass die Funktionen stetig sind und der Grenzwert
$\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac {f(x_0 + \Delta x) -
f(x_0)}{\Delta x}$ für $x \in \mathbb {X}$ existiert.