In verschiedenen Wissenschaftsgebieten wie der Biologie und der Ökonomie werden Wachstumsvorgänge bei beschränkten Ressourcen untersucht. Ist die Beschränkung kaum spürbar, so ist das Wachstum (fast) exponential. Ist die Ressource fast erschöpft, so flacht sich das Wachstum ab. Ein solcher Verlauf wird sehr häufig durch die Logistische Funktion beschrieben: \begin{equation} F(x)= G\frac{1}{1+(\frac{G}{F(0)}-1)e^{-k\cdot G\cdot x}} \end{equation} Dabei ist $G$ die Größe der Ressource, $F(0)$ der Funktionswert bei $x=0$ und $k$ eine Proportionalitätskonstante. Für beispielsweise $G=2$, $F(0)=\frac{1}{20}$ und $k=1/2$ ergibt sich \begin{equation*} F(x)= \frac{2}{1+39e^{- x}} \end{equation*} Diese Funktion wird als Verkettung der Funktionen $f(x)$ und $g(f(x))$ dargestellt: \begin{equation*} z= g(y)=\frac{2}{y} \end{equation*} \begin{equation*} y=f(x)= 1+39e^{-x} \end{equation*}
Kettenregel-Logistisch}

$ (g\circ f)'(x) =(g(f(x)))' = g'(f(x))\cdot f '(x) $

Sind $y=f(z)$ und $z=g(x)$ zwei differenzierbare Funktionen, dann hat die Verkettung $[y=F(x)=f(g(x))]$ der beiden Funktion die Ableitung: \begin{eqnarray} \frac{dF(x)}{dx}= \frac{df(z)}{dg(x)}\cdot \frac {dg(x)}{dx} = \frac {df}{dz} \cdot \frac{dz}{dx} \end{eqnarray} Noch einmal verbal: Ist die Funktion $g$ an der Stelle $x_{0}$ und die Funktion $f$ in $z_{0}$ differenzierbar, dann ist $F(x)$ an der Stelle $x_{0}$ differenzierbar. \begin{equation} F'(x_{0})= f'(z_{0})\cdot g'(x_{0})= f'(g(x_{0}))\cdot g'(x_{0}) \end{equation}