Wir schließen diesen Abschnitt mit einer Aufgabe, die als Wiederholung von
Ableitungsregeln dienen kann.
Das Ergebnis wird weiter unten in Kapitel 'Produktionsfunktionen' bei der Analyse
der CES-Funktion mit Hilfe der Regel von de l'Hospital benötigt.
Aufgabe
$$g(\rho) = \ln \left( a_1x_1^\rho + a_2x_2^\rho\right) \qquad \qquad (+)$$
Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion $g(\rho)$ nach $\rho$.
Loesung
1. Bestimmt werden soll $\frac{d(a^x)}{dx}$
Da die Logarithmusfunktion die Umkehrung der Exponentialfunktion ist, gilt $a=e^{ln(a)}$ und somit
$$a^x={e^{x\cdot ln(a)}}$$
Leitet man $a^x$ nach $x$ unter Benutzung der Kettenregel ab, ergibt sich somit unmittelbar:
$$\frac{d(a^x)}{dx} = \frac{d{e^{x\cdot ln(a)}}}{dx}=\ln a \cdot a^x$$
Benutzt man diese Formel bei der Ableitung von $x_i^\rho$ nach $\rho$ so ergibt sich:
$$\frac{d(x_i^\rho)}{d\rho}=\ln x_i \cdot x_i^\rho$$
2. Zur Bestimmung der Ableitung von (+) benutzen wir die Kettenregel, also
$$\frac{d(g(\rho)}{d\rho}=
\underbrace{\frac{1}{g(\rho)}}_{\hbox{äußere Ableitung (Logar.-Funktion)}}
\cdot
\underbrace{\frac{d \left( a_1x_1^\rho + a_2x_2^\rho\right) }{d\rho}}_{\hbox{innere Ableitung}}$$
Aus 1. und 2. ergibt sich:
$$ \frac {dg(\rho)}{d\rho} =
\frac{
a_1\cdot\ln\ x_1 \cdot x_1^\rho + a_2\cdot \ln\ x_2 \cdot x_1^\rho
}{
a_1x_1^\rho + a_2x_2^\rho
}
$$