Wir schließen diesen Abschnitt mit einer Aufgabe, die als Wiederholung von Ableitungsregeln dienen kann. Das Ergebnis wird weiter unten in Kapitel 'Produktionsfunktionen' bei der Analyse der CES-Funktion mit Hilfe der Regel von de l'Hospital benötigt.

Aufgabe
$$g(\rho) = \ln \left( a_1x_1^\rho + a_2x_2^\rho\right) \qquad \qquad (+)$$ Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion $g(\rho)$ nach $\rho$.

Loesung
1. Bestimmt werden soll $\frac{d(a^x)}{dx}$ Da die Logarithmusfunktion die Umkehrung der Exponentialfunktion ist, gilt $a=e^{ln(a)}$ und somit $$a^x={e^{x\cdot ln(a)}}$$ Leitet man $a^x$ nach $x$ unter Benutzung der Kettenregel ab, ergibt sich somit unmittelbar: $$\frac{d(a^x)}{dx} = \frac{d{e^{x\cdot ln(a)}}}{dx}=\ln a \cdot a^x$$ Benutzt man diese Formel bei der Ableitung von $x_i^\rho$ nach $\rho$ so ergibt sich: $$\frac{d(x_i^\rho)}{d\rho}=\ln x_i \cdot x_i^\rho$$ 2. Zur Bestimmung der Ableitung von (+) benutzen wir die Kettenregel, also $$\frac{d(g(\rho)}{d\rho}= \underbrace{\frac{1}{g(\rho)}}_{\hbox{äußere Ableitung (Logar.-Funktion)}} \cdot \underbrace{\frac{d \left( a_1x_1^\rho + a_2x_2^\rho\right) }{d\rho}}_{\hbox{innere Ableitung}}$$ Aus 1. und 2. ergibt sich: $$ \frac {dg(\rho)}{d\rho} = \frac{ a_1\cdot\ln\ x_1 \cdot x_1^\rho + a_2\cdot \ln\ x_2 \cdot x_1^\rho }{ a_1x_1^\rho + a_2x_2^\rho } $$