\( \def\vec#1{\bf{\underline{#1}}} \)

Wirtschaftlicher Gewinn ist definiert als die Differenz zwischen den Erlösen, die einer Unternehmung zufließen, und den Kosten, die sie verursacht.
Gewinn = Erlös - Kosten
\begin{equation*} G = p \cdot y - \vec{w}\cdot\vec{x} \end{equation*} \begin{equation*} y = f(\vec x) \end{equation*}
\begin{equation*} G = p \cdot y - (w_1, ..., w_n) \begin{pmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix} \end{equation*} \begin{equation*} \qquad\qquad G = p \cdot y - \underbrace{(w_1x_1 + ... + w_nx_n)} _{\mbox{Gesamtausgaben für das Faktorbündel} \vec{x}} \end{equation*}

Ist es Ziel des Unternehmers den Gewinn zu maximieren, so stellen diese beide Gleichungen das Gewinnmaximierungsproblem des Unternehmers dar. Die Lösung dieses Optimierungsproblems ist die Gewinnfunktion des Unternehmens: \begin{equation*} G (p,\vec{w}) = \max \left(p\cdot y- \vec{w}\cdot\vec{x}\right) \end{equation*} \begin{equation*} y =f(\vec{x}) \end{equation*} $G (p,\vec{w})$ heißt Gewinnfunktion der Unternehmung, wobei $p$ der Preis des Outputs und $\vec{w}$ der Vektor der Faktorpreise ist.
Das Güterbündel $\vec{x}^* = x (p, \vec{w})$, das zu dieser Lösung gehört, heißt Faktornachfragefunktion des Unternehmers. (Dies ist zu unterscheiden von der bedingten Faktornachfrage.)
Notwendige Bedingung: \begin{equation*} G = p \cdot f(\vec x) - \vec{w}\cdot\vec{x} \end{equation*} ausgeschrieben \begin{equation*} G = p \cdot y - w_1x_1 - w_2x_2 - ... - w_nx_n \end{equation*} abgeleitet nach $x_i$ \begin{equation*} {\partial G \over\partial x_i} = p\cdot {\partial f \over\partial x_i} - w_i = 0 \end{equation*} also \begin{equation*} p\cdot {\partial f \over\partial x_i} = w_i \end{equation*} für das Gut j ergibt sich analog \begin{equation*} p\cdot {\partial f \over\partial x_j} = w_j \end{equation*} Das ist die so genannte \underbar{Wertgrenzproduktregel}. Diese Bedingung bedeutet einfach, dass für jeden Faktor das Wertgrenzprodukt dem Preis entsprechen muss:\\
Preis mal Grenzprodukt von Faktor $i$ = Faktorpreis
Wertgrenzprodukt = Faktorpreis

Das kann auch folgendermaßen geschrieben werden \begin{equation*} {\partial f \over \partial x_i} = {w_i \over p} \end{equation*}