Ein Elektron befindet sich in einem Potentialtopf der Breite L mit unendlich hohen Wänden. Die potentielle Energie innerhalb des Potentialtopfes sei Null. Mit Hilfe der Schrödingergleichung sollen die Eigenfunktionen ψn und die Energieeigenwerte En berechnet werden. Da es sich um ein eindimensionales Problem handelt, kann die Schrödinger-Gleichung auf eine Raumkoordinate vereinfacht werden:
Ausserhalb des Potentialtopfes:
Ausserhalb des Potentialtopfes (U=∞) muss die Wellenfunktion ψ= 0 sein, damit die Gleichung erfüllt werden kann. Anschaulich bedeutet dies, dass sich das Elektron niemals ausserhalb des Kastens aufhalten kann.
Innerhalb des Potentialtopfes:
Innerhalb des Potentialtopfes ist die potentielle Energie U=0 und die Schrödingergleichung vereinfacht sich zu:
Die einfachste Form einer Lösung für diese Gleichung ist die Sinusfunktion
Um dies zu zeigen, wird die Funktion zweimal nach x abgeleitet:
Es ergeben sich korrekte Lösungen (Koeffizientenvergleich) für
Damit wird unsere Wellenfunktion nun zu:
Nun kommen die Randbedingungen des Problems ins Spiel. Die Wellenfunktion muss an den Potentialrändern zu Null werden, d. h.:
Die Sinusfunktion kann nur zu Null werden, wenn das Argument der Sinusfunktion den Wert n·π hat:
bzw.
Mit diesen Ergebnissen lassen sich bereits die Energieeigenwerte des Systems, En, berechnen:
Das bedeutet, dass die Energieeigenwerte mit n2 steigen:
oder allgemein:
Als nächstes wäre nun noch die maximale Elongation von ψ(x), die Amplitude A zu bestimmen. Dazu macht man sich folgende Normierungsbedingung zu Nutze:
Das bestimmte Integral zwischen 0 und L über das Quadrat der Wellenfunktion muss 1 sein. Das bedeutet, dass sich das Elektron mit Sicherheit im Potentialkasten zwischen x=0 und x=L aufhalten muss:
Durch Substitution un Integration erhält man den Wert für A:
Damit haben wir die Schrödinger-Gleichung für das Elektron im Potentialtopf gelöst: Die Wellenfunktion ψn(x) lautet:
und die Energie-Eigenwerte:
Die unteren Energieniveaus und Wellenfunktionen sind in das Energiediagramm eingezeichnet. Zusätzlich wurde das Quadrat der Wellenfunktion als Maß für die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eingezeichnet. Dabei wurde das Vorzeichen der Wellenfunktion gekennzeichnet.
